Seorang pedagang buah menjual buah mangga dan pisang menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp.8.000,00/kg dan pisang Rp.6.000,00/kg

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Program Linear
Kata Kunci : model, matematika, fungsi, optimum

Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).

Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).

Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.

Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut.

Seorang pedagang buah menjual mangga dan pisang menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp8.000,00/kg dan pisang Rp6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp.1.200.000,00 dan gerobaknya hanya memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp9.200,00/kg dan pisang Rp.7.000,00/kg maka laba maksimum yang dapat diperoleh adalah...

Jawab :

Persoalan di atas kita buat model matematikanya.
Pertama, kita buat tabelnya.

Misalkan buah mangga = x dan buah pisang = y

                                        Mangga      Pisang     Total

Berat (kg)                        x                  y               180

Harga beli (rupiah/kg)    8.000         6.000        1.200.000
Harga jual (rupiah/kg)    9.200         7.000             

Model matematika dari persoalan di atas adalah
x + y ≤ 180
8.000x + 6.000y ≤ 1.200.000

⇔ 4x + 3y ≤ 600

x ≥ 0
y ≥ 0
 
Fungsi optimumnya adalah f(x, y) = 9.200x + 7.000y
 
Kemudian, dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik-titik potong dari garis-garis
x + y = 180 ... (1)
4x + 3y = 600 ... (2)
 
Kita eliminasi y, diperoleh
x + y = 180       |.3|
4x + 3y = 600 |.1|

3x + 3y = 540

4x + 3y = 600

__________-

⇔ -x = -60
⇔ x = 60

Nilai x = 60 kita substitusikan ke persamaan (1), diperoleh
 x + y = 180
⇔ y = 180 - 60
⇔ y = 120
 
Berdasarkan gambar pada lampiran, kita peroleh titik-titik yang disusbtitusikan ke fungsi optimum f(x, y) = 9.200x + 7.000y sehingga
(150, 0) → f(x, y) = 9.200(150) + 7.000(0) = 1.380.000 + 0 = 1.380.000

(0, 180) → f(x, y) = 9.200(0) + 7.000(180) = 0 + 1.260.000 = 1.260.000
(60, 120) → f(x, y) = 9.200(60) + 7.000(120) = 552.000 + 840.000 = 1.392.000

Harga jual maksimumnya Rp1.392.000,00

Jika harga beli maksimumnya Rp8.000,00 x 60 + Rp6.000,00 x 120 = 480.000 + 720.000 = Rp1.200.000,00

Laba maksimumnya Rp1.392.000,00 - Rp1.200.000,00 = Rp192.000,00

Jadi, laba maksimumnya Rp192.000,00 dengan 60 buah mangga dan 120 buah pisang.

Semangat!